如何理解图片的傅立叶

Ⅰ 如何理解傅里叶变换公式

傅里叶变换公式：

傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数。

且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换，②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的象函数，f(t)叫做F(ω)的象原函数。F(ω)是f(t)的象。f(t)是F(ω)原象。

Ⅱ 傅里叶级数如何理解

傅里叶级数，就是将一个复杂函数展开成三角级数。

法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数，根据欧拉公式，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。

性质

1、收敛性

傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：

在任何周期内，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；

在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。

2、正交性

所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性。

Ⅲ 关于图片的傅里叶变换

图片中是没有时间概念的，但是有空间概念，不同的空间位置可以理解为 不同的时间差。 x(k),这里的k表示的是 灰度的差值，至于有没正负，你还是回去看书吧，忘记了。 频谱图和 原来的图像表示的是同一个信号，只是 表示的方法不一样了。u=1,v=1表示横纵灰度变化为1，f(u,v)表示 横纵灰度变化为u，v 的（也可以理解为二维 频率为u，v）三角波的幅值。

Ⅳ 傅里叶变换是什么有什么应用

傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法，
比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。
印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用：1.图像增强与图像去噪绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘；2.图像分割之边缘检测提取图像高频分量3.图像特征提取：形状特征：傅里叶描述子纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性4.图像压缩可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换；
傅立叶变换傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。离散情况下，傅里叶变换一定存在。冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。傅立叶变换有很多优良的性质。比如线性，对称性（可以用在计算信号的傅里叶变换里面）;
时移性：函数在时域中的时移，对应于其在频率域中附加产生的相移，而幅度频谱则保持不变；
频移性：函数在时域中乘以e^jwt，可以使整个频谱搬移w。这个也叫调制定理，通讯里面信号的频分复用需要用到这个特性（将不同的信号调制到不同的频段上同时传输）；卷积定理：时域卷积等于频域乘积；时域乘积等于频域卷积（附加一个系数）。（图像处理里面这个是个重点）
信号在频率域的表现在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓。当频率为0时，表示直流信号，没有变化。因此，频率的大小反应了信号的变化快慢。高频分量解释信号的突变部分，而低频分量决定信号的整体形象。在图像处理中，频域反应了图像在空域灰度变化剧烈程度，也就是图像灰度的变化速度，也就是图像的梯度大小。对图像而言，图像的边缘部分是突变部分，变化较快，因此反应在频域上是高频分量；图像的噪声大部分情况下是高频部分；图像平缓变化部分则为低频分量。也就是说，傅立叶变换提供另外一个角度来观察图像，可以将图像从灰度分布转化到频率分布上来观察图像的特征。书面一点说就是，傅里叶变换提供了一条从空域到频率自由转换的途径。对图像处理而言，以下概念非常的重要：
图像高频分量：图像突变部分；在某些情况下指图像边缘信息，某些情况下指噪声，更多是两者的混合；低频分量：图像变化平缓的部分，也就是图像轮廓信息高通滤波器：让图像使低频分量抑制，高频分量通过低通滤波器：与高通相反，让图像使高频分量抑制，低频分量通过带通滤波器：使图像在某一部分的频率信息通过，其他过低或过高都抑制还有个带阻滤波器，是带通的反。

模板运算与卷积定理在时域内做模板运算，实际上就是对图像进行卷积。模板运算是图像处理一个很重要的处理过程，很多图像处理过程，比如增强/去噪（这两个分不清楚），边缘检测中普遍用到。根据卷积定理，时域卷积等价与频域乘积。因此，在时域内对图像做模板运算就等效于在频域内对图像做滤波处理。比如说一个均值模板，其频域响应为一个低通滤波器；在时域内对图像作均值滤波就等效于在频域内对图像用均值模板的频域响应对图像的频域响应作一个低通滤波。

图像去噪图像去噪就是压制图像的噪音部分。因此，如果噪音是高频额，从频域的角度来看，就是需要用一个低通滤波器对图像进行处理。通过低通滤波器可以抑制图像的高频分量。但是这种情况下常常会造成边缘信息的抑制。常见的去噪模板有均值模板，高斯模板等。这两种滤波器都是在局部区域抑制图像的高频分量，模糊图像边缘的同时也抑制了噪声。还有一种非线性滤波-中值滤波器。中值滤波器对脉冲型噪声有很好的去掉。因为脉冲点都是突变的点，排序以后输出中值，那么那些最大点和最小点就可以去掉了。中值滤波对高斯噪音效果较差。
椒盐噪声：对于椒盐采用中值滤波可以很好的去除。用均值也可以取得一定的效果，但是会引起边缘的模糊。高斯白噪声：白噪音在整个频域的都有分布，好像比较困难。
冈萨雷斯版图像处理P185：算术均值滤波器和几何均值滤波器（尤其是后者）更适合于处理高斯或者均匀的随机噪声。谐波均值滤波器更适合于处理脉冲噪声。
图像增强有时候感觉图像增强与图像去噪是一对矛盾的过程，图像增强经常是需要增强图像的边缘，以获得更好的显示效果，这就需要增加图像的高频分量。而图像去噪是为了消除图像的噪音，也就是需要抑制高频分量。有时候这两个又是指类似的事情。比如说，消除噪音的同时图像的显示效果显着的提升了，那么，这时候就是同样的意思了。常见的图像增强方法有对比度拉伸，直方图均衡化，图像锐化等。前面两个是在空域进行基于像素点的变换，后面一个是在频域处理。我理解的锐化就是直接在图像上加上图像高通滤波后的分量，也就是图像的边缘效果。对比度拉伸和直方图均衡化都是为了提高图像的对比度，也就是使图像看起来差异更明显一些，我想，经过这样的处理以后，图像也应该增强了图像的高频分量，使得图像的细节上差异更大。同时也引入了一些噪音

Ⅳ 关于傅里叶变换的理解

傅里叶分析可分为傅里叶级数和傅里叶变换。傅里叶分析可以将任何周期函数看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加，一个矩形波在傅里叶变换后在频域中变为一条条幅值。
例如收音机接收到的信号是多个电台的信号波叠加，如果直接播放我们不能听到任何声音。收音机通过傅里叶变换将信号波分解为特定频率的信号，从而听到某个电台的节目。

傅里叶空间中的每个向量都可以表示为其一组基的无限线性组合，这就是傅里叶展开。这一组基互相正交，称为傅里叶基。
傅里叶级数就是将傅里叶空间中的一个向量通过基的线性组合的方式写出来（一个基的线性组合），每一个基的系数可以通过内积计算得到。
傅里叶级数的指数形式，通过欧拉公式将三角函数转换为指数函数，同时引入虚数i。 exp(ix)=cos(x)+isin(x) ，复平面的向量 (cos(x), isin(x)) 与 exp(ix) 等价（上述公式可用泰勒级数证明）。当 exp(ix) 中的 x 变成时间 t 时，随着时间的流逝，该向量就会在 2π 秒后旋转一圈，即 T=2π 。因此， exp(iwt) 是一个旋转的向量。傅里叶级数就从以三角函数作为基的线性组合就变为指数函数为基的线性组合。

当周期函数的周期趋于无穷时，无穷级数转换为积分，此时实数轴上的每个点都对应一个基，该积分就是这无限个基的“线性组合”。

正空间的晶格做傅里叶变换得到倒易空间（傅里叶空间），在正空间具有周期性的晶格在倒易空间变为倒格子（透射电镜下投影为二维点阵），而在正空间混乱的晶格在倒空间也将是混乱的。正空间表示时域，倒易空间表示频域。由于晶格的周期性，因此关于晶格的所有性质都可以经过傅里叶变换进行计算。

Ⅵ 傅里叶变换

1. 傅里叶变换的基本原理

遥感图像像元 DN 值随空间位置变化的特性可用频率来进行描述。DN 值的空间变化频率特征可看作为由具有不同频率、振幅和相位的许多正弦波或余弦波叠合而成的复杂波形。一般而言，短距离内的亮度变化 ( 线条或边缘) 相当于高频波，而长距离或大范围内的变化 ( 背景) 则相当于低频波。

图像的傅里叶 ( Fourier) 变换是空间频率的函数，构成一个描述组成该图像的所有正弦波的频率、振幅与相位关系的频谱 ( 傅里叶谱) 。图像的傅氏变换包含着原图像中的所有信息，不同的是量度的方式。通过傅氏变换，可对原图像数据从频率的角度进行频谱特征调整，并可通过傅氏反变换得到最终图像而实现预期目的。

2. 傅里叶变换的基本性质

傅里叶变换具有线性性质、比例变换性、位移性、周期性、共轭对称性，并服从卷积定理，同时，二维傅里叶变换具有可分离性，即二维傅里叶变换可先后分别沿 x 和 y ( μ和 ν) 两个方向进行运算。

傅氏变换后的傅氏频谱 ( 振幅) 图像是以 | F ( 0，0) | ( 零频相，常称 DC 项) 为中心呈辐射对称的，傅氏频谱图像中任意一点到原点的距离代表该点空间频率的高低，而该点与原点连线的方位角反映了原图像中线性特征信息的方向。

Ⅶ 为什么图像的傅里叶频谱集中于四个角

在频域中,频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓.当频率为0时,表示直流信号,没有变化.因此,频率的大小反应了信号的变化快慢.高频分量解释信号的突变部分,而低频分量决定信号的整体形象.
在图像处理中,频域反应了图像在空域灰度变化剧烈程度,也就是图像灰度的变化速度,也就是图像的梯度大小.对图像而言,图像的边缘部分是突变部分,变化较快,因此反应在频域上是高频分量；图像的噪声大部分情况下是高频部分；图像平缓变化部分则为低频分量.也就是说,傅立叶变换提供另外一个角度来观察图像,可以将图像从灰度分布转化到频率分布上来观察图像的特征.书面一点说就是,傅里叶变换提供了一条从空域到频率自由转换的途径.
另外,关于变换后频谱图像是四角亮的问题,主要是因为变换后的四角位置刚好对应着图像的低频成分,而一般来说图像的能量都集中在低频分量上,因此变换后低频位置处的幅度会大些,显示出来就更亮了.

Ⅷ 傅里叶变换有什么用

傅里叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅里叶变换算法的意义，首先要了解傅里叶原理的意义。

傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

和傅里叶变换算法对应的是反傅里叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。

因此，可以说，傅里叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅里叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。

从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

在数学领域，尽管最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：

1、傅里叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子；

2、傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似；

3、正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段；

4、离散形式的傅里叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；

5、着名的卷积定理指出:傅里叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT))。

正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

(8)如何理解图片的傅立叶扩展阅读

傅里叶生于法国中部欧塞尔（Auxerre）一个裁缝家庭，9岁时沦为孤儿，被当地一主教收养。1780年起就读于地方军校，1795年任巴黎综合工科大学助教，1798年随拿破仑军队远征埃及，受到拿破仑器重，回国后于1801年被任命为伊泽尔省格伦诺布尔地方长官。

傅里叶早在1807年就写成关于热传导的基本论文《热的传播》，向巴黎科学院呈交，但经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德审阅后被科学院拒绝，1811年又提交了经修改的论文，该文获科学院大奖，却未正式发表。

傅里叶在论文中推导出着名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。傅里叶级数（即三角级数）、傅里叶分析等理论均由此创始。

傅里叶由于对传热理论的贡献于1817年当选为巴黎科学院院士。

1822年，傅里叶终于出版了专着《热的解析理论》（Theorieanalytique de la Chaleur ，Didot ，Paris，1822）。这部经典着作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下应用的三角级数方法发展成内容丰富的一般理论，三角级数后来就以傅里叶的名字命名。

傅里叶应用三角级数求解热传导方程，为了处理无穷区域的热传导问题又导出了当前所称的“傅里叶积分”，这一切都极大地推动了偏微分方程边值问题的研究。

然而傅里叶的工作意义远不止此，它迫使人们对函数概念作修正、推广，特别是引起了对不连续函数的探讨；三角级数收敛性问题更刺激了集合论的诞生。因此，《热的解析理论》影响了整个19世纪分析严格化的进程。傅里叶1822年成为科学院终身秘书。

由于傅里叶极度痴迷热学，他认为热能包治百病，于是在一个夏天，他关上了家中的门窗，穿上厚厚的衣服，坐在火炉边，结果因CO中毒不幸身亡，1830年5月16日卒于法国巴黎。

参考资料来源：网络-傅立叶变换

参考资料来源：网络-傅立叶