如何推導圓錐的體積圖片

1. 圓錐的體積怎樣推導出來的

• 一、等效替代法：

  圓柱的體積為;SH

  圓錐的體積是圓柱的三分之一(這個自己做實驗就可以看出來.如:拿一個圓柱的器具和一個圓錐的器具,在圓錐的器具里倒滿水,把水往圓柱的器具里倒,倒三次才倒滿.對了,這個圓錐的器具的半徑和高要和圓柱的器具一樣),即用一個圓錐盛三次水,正好等於一個等低等高圓柱的容積,用圓柱的容積替代了圓錐的體積

  所以圓錐的體積V＝1/3Sh

  二、用微積分推導

  思路是將圓錐微分為無限個半徑逐漸減小的圓片的堆積,微圓片看成高度無限小的圓柱
  設圓錐的高為HM地面半徑R

  幾何法得到,每個界面的半徑與界面高度的關系為 r=R-Rh/H

  積分πr^2h

  =E（π^2h)

  ∫(πr^2)dh=∫πR^2（1+h^2/H^2 -2h/H)dh h從0積分到H

  =πR^2(H+H^3/3H^2-H^2/H

  =πR^2(H+H/3-H

  =πR^2H/3

2. 圓錐的體積公式是怎樣推導出來的

把圓錐沿高分成k分 每份高 h/k,
第 n份半徑：n*r/k
第 n份底面積：pi*n^2*r^2/k^2
第 n份體積：pi*h*n^2*r^2/k^3
總體積(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
因為
1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
所以
總體積(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
=pi*h*r^2* k*(k+1)*(2k+1)/6k^3
=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
因為當n越來越大,總體積越接近於圓錐體積,1/k越接近於0
所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3
因為V圓柱=pi*h*r^2
所以
V圓錐是與它等底等高的V圓柱體積的1/3

3. 怎樣推導出圓錐的體積

用兩個等底等高的圓柱和圓錐，吧圓錐裝滿沙子，再到在圓柱里，沙子占圓柱的1/3，也就是說，1個圓錐是與它等底等高圓柱的體積的1/3.

4. 圓錐的體積公式如何推導，詳細過程。

圓錐的體積
一個圓錐所佔空間的大小,叫做這個圓錐的體積．
一個圓錐的體積等於與它等底等高的圓柱的體積的1/3
根據圓柱體積公式V=Sh（V=rrπh）,得出圓錐體積公式：
圓錐
V=1/3Sh
S是圓錐的底面積,h是圓錐的高,r是圓錐的底面半徑.
證明：
把圓錐沿高分成k分 每份高 h/k,
第 n份半徑：n*r/k
第 n份底面積：pi*n^2*r^2/k^2
第 n份體積：pi*h*n^2*r^2/k^3
總體積(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
因為
1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
所以
總體積(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
=pi*h*r^2* k*(k+1)*(2k+1)/6k^3
=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
因為當n越來越大,總體積越接近於圓錐體積,1/k越接近於0
所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3
因為V圓柱=pi*h*r^2
所以
V圓錐是與它等底等高的V圓柱體積的1/3

5. 請問如何推導圓錐的體積公式

長方體:設有一個長寬高都是整數的長方體，把它分成棱長為1的正方體，每個的體積為1，長寬高各有幾個1，再相乘。S=abh。
正方體也是一樣的圓柱:底面是個圓
然後高看成是這么多個圓疊加起來的。
所以體積就是底面積乘以高了圓錐:設圓錐高H，底面半徑為R，底面積S=π*R^2
用平行於底面的平面把它切成n片，則每片的厚度為H/n
可把每片近似看做底半徑為k/n*r的圓柱
其體積為(π*k/n*r)^2*h/n,對k=1到n求和得
S=πR^2H*(1/6/n^3)*n*(n+1)*(2n+1)
令n=無窮大，則S=1/3πR^2H

6. 圓錐體積推導過程圖解

不需要推導，你自己可以做實驗證明，自己做道具，記得要等底等高才可以，然後弄點沙子

7. 圓錐體的體積是怎樣推導的

圓錐體體積的推導方法：

方法一、初等的方法

設圓錐高H，底面半徑為R，底面積S=π*R^2

用平行於底面的平面把它切成n片，則每片的厚度為H/n

可把每片近似看做底半徑為k/n*r的圓柱

其體積為(π*k/n*r)^2*h/n,對k=1到n求和得

S=πR^2H*(1/6/n^3)*n*(n+1)*(2n+1)

令n=無窮大，則S=1/3πR^2H

方法二、通過圓柱來推導

任何物體的體積都離不開底面積×高的求法

圓柱的體積公式是V=Sh

把與它等底等高的圓錐裝滿水，倒進圓錐體里，你可以發現倒3次才能倒滿圓柱。

所以與圓柱等底等高的圓錐是這個圓柱的三分之一

所以，圓錐的體積就是V=1/3Sh 三分之一乘底面積乘高

(7)如何推導圓錐的體積圖片擴展閱讀：

圓錐是一種幾何圖形，有兩種定義。解析幾何定義：圓錐面和一個截它的平面（滿足交線為圓）組成的空間幾何圖形叫圓錐。立體幾何定義：以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉軸，其餘兩邊旋轉360度而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐。旋轉軸叫做圓錐的軸。 垂直於軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓錐的底面。不垂直於軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓錐的側面。無論旋轉到什麼位置，不垂直於軸的邊都叫做圓錐的母線。

圓錐面和一個截它的平面（滿足交線為圓）組成的空間幾何圖形叫圓錐。

以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉軸，其餘兩邊旋轉而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐。

注意：圓錐不是特殊的圓柱。

圓錐三視圖是觀測者從三個不同位置觀察而畫出的圖形。其主視圖和側視圖均為等腰三角形，俯視圖是一個圓和圓心。

8. 如何推導圓錐體體積計算公式

可以通過設楞數為n的正棱錐求得體積公式，然後求n-〉∞時的極限，即為圓錐體體積公式。

9. 圓錐體的體積是怎樣推導的

圓錐體的體積由圓柱推導而來。

設 h為圓台的高， r和R為稜台的上下底面半徑， V 為圓台的體積。由於圓台是由一個平面截去圓錐的一部分（也就是和原來圓錐相似的一個小圓錐）得到，所以計算體積的時候，可以先算出原來圓錐的體積。再減去和它相似的小圓錐的體積。

圓錐被平行於底面的平面所截時，截面圓的半徑與底面半徑的比，等於小圓錐和原圓錐的高的比。

(9)如何推導圓錐的體積圖片擴展閱讀：

圓錐組成：

圓錐的高：圓錐的頂點到圓錐的底面圓心之間的最短距離叫做圓錐的高；

圓錐母線：圓錐的側面展開形成的扇形的半徑、底面圓周上任意一點到頂點的距離。

圓錐的側面積：將圓錐的側面沿母線展開，是一個扇形,這個扇形的弧長等於圓錐底面的周長,而扇形的半徑等於圓錐的母線的長. 圓錐的側面積就是弧長為圓錐底面的周長×母線/2；沒展開時是一個曲面。

圓錐有一個底面、一個側面、一個頂點、一條高、無數條母線，且底面展開圖為一圓形，側面展開圖是扇形。

10. 怎麼推導出圓錐的體積

圓柱的體積為;SH
圓錐的體積是圓柱的三分之一(這個自己做實驗就可以看出來.如:拿一個圓柱的器具和一個圓錐的器具,在圓錐的器具里倒滿水,把水往圓柱的器具里倒,倒三次才倒滿.對了,這個圓錐的器具的半徑和高要和圓柱的器具一樣)
所以圓錐的體積V＝1/3Sh

或用積分。
不然用祖暅原理加一點幾何直觀的辦法也可以。

會問這個問題的大概肯定不會微積分，所以我說一下用祖暅原理的想法。
祖暅原理指：等高處橫截面積恆相等的兩個立體，其體積也必然相等。嚴格證明其實還是要用微積分，不過這個比較直觀，拿來用吧。

圓錐的橫截面是一個圓，用幾何關系不難推出截面圓的半徑與截面與頂點距離h、圓錐高H及底面大圓半徑R的關系（請自己畫個圖做），設它為r，則易見r = Rh/H。
於是看出r與高h是一次關系，故可以構造一個三棱錐，使它與圓錐等高且截面積與之相等。問題轉化為求三棱錐體積。
三棱錐體積可以用割補的方法來證明，為了簡單，還可以用祖暅原理化為求底為直角三角形的直棱錐，在立方體上進行割補。就不詳細寫了。