如何理解圖片的傅立葉

Ⅰ 如何理解傅里葉變換公式

傅里葉變換公式：

傅立葉變換，表示能將滿足一定條件的某個函數表示成三角函數（正弦和/或餘弦函數）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅立葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅立葉變換和離散傅立葉變換。最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的。

f(t)是t的周期函數，如果t滿足狄里赫萊條件：在一個以2T為周期內f(X)連續或只有有限個第一類間斷點，附f（x）單調或可劃分成有限個單調區間，則F（x）以2T為周期的傅里葉級數收斂，和函數S（x）也是以2T為周期的周期函數。

且在這些間斷點上，函數是有限值；在一個周期內具有有限個極值點；絕對可積。則有下圖①式成立。稱為積分運算f(t)的傅立葉變換，②式的積分運算叫做F(ω)的傅立葉逆變換。F(ω)叫做f(t)的象函數，f(t)叫做F(ω)的象原函數。F(ω)是f(t)的象。f(t)是F(ω)原象。

Ⅱ 傅里葉級數如何理解

傅里葉級數，就是將一個復雜函數展開成三角級數。

法國數學家傅里葉發現，任何周期函數都可以用正弦函數和餘弦函數構成的無窮級數來表示（選擇正弦函數與餘弦函數作為基函數是因為它們是正交的），後世稱傅里葉級數為一種特殊的三角級數，根據歐拉公式，三角函數又能化成指數形式，也稱傅立葉級數為一種指數級數。

性質

1、收斂性

傅里葉級數的收斂性：滿足狄利赫里條件的周期函數表示成的傅里葉級數都收斂。狄利赫里條件如下：

在任何周期內，x(t)須絕對可積；在任一有限區間中，x(t)只能取有限個最大值或最小值；

在任何有限區間上，x(t)只能有有限個第一類間斷點。

2、正交性

所謂的兩個不同向量正交是指它們的內積為0，這也就意味著這兩個向量之間沒有任何相關性。

Ⅲ 關於圖片的傅里葉變換

圖片中是沒有時間概念的，但是有空間概念，不同的空間位置可以理解為 不同的時間差。 x(k),這里的k表示的是 灰度的差值，至於有沒正負，你還是回去看書吧，忘記了。 頻譜圖和 原來的圖像表示的是同一個信號，只是 表示的方法不一樣了。u=1,v=1表示橫縱灰度變化為1，f(u,v)表示 橫縱灰度變化為u，v 的（也可以理解為二維 頻率為u，v）三角波的幅值。

Ⅳ 傅里葉變換是什麼有什麼應用

傅立葉變換在圖像處理中有非常非常的作用。因為不僅傅立葉分析涉及圖像處理的很多方面，傅立葉的改進演算法，
比如離散餘弦變換，gabor與小波在圖像處理中也有重要的分量。
印象中，傅立葉變換在圖像處理以下幾個話題都有重要作用：1.圖像增強與圖像去噪絕大部分噪音都是圖像的高頻分量，通過低通濾波器來濾除高頻——雜訊; 邊緣也是圖像的高頻分量，可以通過添加高頻分量來增強原始圖像的邊緣；2.圖像分割之邊緣檢測提取圖像高頻分量3.圖像特徵提取：形狀特徵：傅里葉描述子紋理特徵：直接通過傅里葉系數來計算紋理特徵其他特徵：將提取的特徵值進行傅里葉變換來使特徵具有平移、伸縮、旋轉不變性4.圖像壓縮可以直接通過傅里葉系數來壓縮數據；常用的離散餘弦變換是傅立葉變換的實變換；
傅立葉變換傅里葉變換是將時域信號分解為不同頻率的正弦信號或餘弦函數疊加之和。連續情況下要求原始信號在一個周期內滿足絕對可積條件。離散情況下，傅里葉變換一定存在。岡薩雷斯版<圖像處理>裡面的解釋非常形象：一個恰當的比喻是將傅里葉變換比作一個玻璃棱鏡。棱鏡是可以將光分解為不同顏色的物理儀器，每個成分的顏色由波長（或頻率）來決定。傅里葉變換可以看作是數學上的棱鏡，將函數基於頻率分解為不同的成分。當我們考慮光時,討論它的光譜或頻率譜。同樣,傅立葉變換使我們能通過頻率成分來分析一個函數。傅立葉變換有很多優良的性質。比如線性，對稱性（可以用在計算信號的傅里葉變換裡面）;
時移性：函數在時域中的時移，對應於其在頻率域中附加產生的相移，而幅度頻譜則保持不變；
頻移性：函數在時域中乘以e^jwt，可以使整個頻譜搬移w。這個也叫調制定理，通訊裡面信號的頻分復用需要用到這個特性（將不同的信號調制到不同的頻段上同時傳輸）；卷積定理：時域卷積等於頻域乘積；時域乘積等於頻域卷積（附加一個系數）。（圖像處理裡面這個是個重點）
信號在頻率域的表現在頻域中，頻率越大說明原始信號變化速度越快；頻率越小說明原始信號越平緩。當頻率為0時，表示直流信號，沒有變化。因此，頻率的大小反應了信號的變化快慢。高頻分量解釋信號的突變部分，而低頻分量決定信號的整體形象。在圖像處理中，頻域反應了圖像在空域灰度變化劇烈程度，也就是圖像灰度的變化速度，也就是圖像的梯度大小。對圖像而言，圖像的邊緣部分是突變部分，變化較快，因此反應在頻域上是高頻分量；圖像的雜訊大部分情況下是高頻部分；圖像平緩變化部分則為低頻分量。也就是說，傅立葉變換提供另外一個角度來觀察圖像，可以將圖像從灰度分布轉化到頻率分布上來觀察圖像的特徵。書面一點說就是，傅里葉變換提供了一條從空域到頻率自由轉換的途徑。對圖像處理而言，以下概念非常的重要：
圖像高頻分量：圖像突變部分；在某些情況下指圖像邊緣信息，某些情況下指雜訊，更多是兩者的混合；低頻分量：圖像變化平緩的部分，也就是圖像輪廓信息高通濾波器：讓圖像使低頻分量抑制，高頻分量通過低通濾波器：與高通相反，讓圖像使高頻分量抑制，低頻分量通過帶通濾波器：使圖像在某一部分的頻率信息通過，其他過低或過高都抑制還有個帶阻濾波器，是帶通的反。

模板運算與卷積定理在時域內做模板運算，實際上就是對圖像進行卷積。模板運算是圖像處理一個很重要的處理過程，很多圖像處理過程，比如增強/去噪（這兩個分不清楚），邊緣檢測中普遍用到。根據卷積定理，時域卷積等價與頻域乘積。因此，在時域內對圖像做模板運算就等效於在頻域內對圖像做濾波處理。比如說一個均值模板，其頻域響應為一個低通濾波器；在時域內對圖像作均值濾波就等效於在頻域內對圖像用均值模板的頻域響應對圖像的頻域響應作一個低通濾波。

圖像去噪圖像去噪就是壓制圖像的噪音部分。因此，如果噪音是高頻額，從頻域的角度來看，就是需要用一個低通濾波器對圖像進行處理。通過低通濾波器可以抑制圖像的高頻分量。但是這種情況下常常會造成邊緣信息的抑制。常見的去噪模板有均值模板，高斯模板等。這兩種濾波器都是在局部區域抑制圖像的高頻分量，模糊圖像邊緣的同時也抑制了雜訊。還有一種非線性濾波-中值濾波器。中值濾波器對脈沖型雜訊有很好的去掉。因為脈沖點都是突變的點，排序以後輸出中值，那麼那些最大點和最小點就可以去掉了。中值濾波對高斯噪音效果較差。
椒鹽雜訊：對於椒鹽採用中值濾波可以很好的去除。用均值也可以取得一定的效果，但是會引起邊緣的模糊。高斯白雜訊：白噪音在整個頻域的都有分布，好像比較困難。
岡薩雷斯版圖像處理P185：算術均值濾波器和幾何均值濾波器（尤其是後者）更適合於處理高斯或者均勻的隨機雜訊。諧波均值濾波器更適合於處理脈沖雜訊。
圖像增強有時候感覺圖像增強與圖像去噪是一對矛盾的過程，圖像增強經常是需要增強圖像的邊緣，以獲得更好的顯示效果，這就需要增加圖像的高頻分量。而圖像去噪是為了消除圖像的噪音，也就是需要抑制高頻分量。有時候這兩個又是指類似的事情。比如說，消除噪音的同時圖像的顯示效果顯著的提升了，那麼，這時候就是同樣的意思了。常見的圖像增強方法有對比度拉伸，直方圖均衡化，圖像銳化等。前面兩個是在空域進行基於像素點的變換，後面一個是在頻域處理。我理解的銳化就是直接在圖像上加上圖像高通濾波後的分量，也就是圖像的邊緣效果。對比度拉伸和直方圖均衡化都是為了提高圖像的對比度，也就是使圖像看起來差異更明顯一些，我想，經過這樣的處理以後，圖像也應該增強了圖像的高頻分量，使得圖像的細節上差異更大。同時也引入了一些噪音

Ⅳ 關於傅里葉變換的理解

傅里葉分析可分為傅里葉級數和傅里葉變換。傅里葉分析可以將任何周期函數看作是不同振幅，不同相位正弦波的疊加，一個矩形波在傅里葉變換後在頻域中變為一條條幅值。
例如收音機接收到的信號是多個電台的信號波疊加，如果直接播放我們不能聽到任何聲音。收音機通過傅里葉變換將信號波分解為特定頻率的信號，從而聽到某個電台的節目。

傅里葉空間中的每個向量都可以表示為其一組基的無限線性組合，這就是傅里葉展開。這一組基互相正交，稱為傅里葉基。
傅里葉級數就是將傅里葉空間中的一個向量通過基的線性組合的方式寫出來（一個基的線性組合），每一個基的系數可以通過內積計算得到。
傅里葉級數的指數形式，通過歐拉公式將三角函數轉換為指數函數，同時引入虛數i。 exp(ix)=cos(x)+isin(x) ，復平面的向量 (cos(x), isin(x)) 與 exp(ix) 等價（上述公式可用泰勒級數證明）。當 exp(ix) 中的 x 變成時間 t 時，隨著時間的流逝，該向量就會在 2π 秒後旋轉一圈，即 T=2π 。因此， exp(iwt) 是一個旋轉的向量。傅里葉級數就從以三角函數作為基的線性組合就變為指數函數為基的線性組合。

當周期函數的周期趨於無窮時，無窮級數轉換為積分，此時實數軸上的每個點都對應一個基，該積分就是這無限個基的「線性組合」。

正空間的晶格做傅里葉變換得到倒易空間（傅里葉空間），在正空間具有周期性的晶格在倒易空間變為倒格子（透射電鏡下投影為二維點陣），而在正空間混亂的晶格在倒空間也將是混亂的。正空間表示時域，倒易空間表示頻域。由於晶格的周期性，因此關於晶格的所有性質都可以經過傅里葉變換進行計算。

Ⅵ 傅里葉變換

1. 傅里葉變換的基本原理

遙感圖像像元 DN 值隨空間位置變化的特性可用頻率來進行描述。DN 值的空間變化頻率特徵可看作為由具有不同頻率、振幅和相位的許多正弦波或餘弦波疊合而成的復雜波形。一般而言，短距離內的亮度變化 ( 線條或邊緣) 相當於高頻波，而長距離或大范圍內的變化 ( 背景) 則相當於低頻波。

圖像的傅里葉 ( Fourier) 變換是空間頻率的函數，構成一個描述組成該圖像的所有正弦波的頻率、振幅與相位關系的頻譜 ( 傅里葉譜) 。圖像的傅氏變換包含著原圖像中的所有信息，不同的是量度的方式。通過傅氏變換，可對原圖像數據從頻率的角度進行頻譜特徵調整，並可通過傅氏反變換得到最終圖像而實現預期目的。

2. 傅里葉變換的基本性質

傅里葉變換具有線性性質、比例變換性、位移性、周期性、共軛對稱性，並服從卷積定理，同時，二維傅里葉變換具有可分離性，即二維傅里葉變換可先後分別沿 x 和 y ( μ和 ν) 兩個方向進行運算。

傅氏變換後的傅氏頻譜 ( 振幅) 圖像是以 | F ( 0，0) | ( 零頻相，常稱 DC 項) 為中心呈輻射對稱的，傅氏頻譜圖像中任意一點到原點的距離代表該點空間頻率的高低，而該點與原點連線的方位角反映了原圖像中線性特徵信息的方向。

Ⅶ 為什麼圖像的傅里葉頻譜集中於四個角

在頻域中,頻率越大說明原始信號變化速度越快；頻率越小說明原始信號越平緩.當頻率為0時,表示直流信號,沒有變化.因此,頻率的大小反應了信號的變化快慢.高頻分量解釋信號的突變部分,而低頻分量決定信號的整體形象.
在圖像處理中,頻域反應了圖像在空域灰度變化劇烈程度,也就是圖像灰度的變化速度,也就是圖像的梯度大小.對圖像而言,圖像的邊緣部分是突變部分,變化較快,因此反應在頻域上是高頻分量；圖像的雜訊大部分情況下是高頻部分；圖像平緩變化部分則為低頻分量.也就是說,傅立葉變換提供另外一個角度來觀察圖像,可以將圖像從灰度分布轉化到頻率分布上來觀察圖像的特徵.書面一點說就是,傅里葉變換提供了一條從空域到頻率自由轉換的途徑.
另外,關於變換後頻譜圖像是四角亮的問題,主要是因為變換後的四角位置剛好對應著圖像的低頻成分,而一般來說圖像的能量都集中在低頻分量上,因此變換後低頻位置處的幅度會大些,顯示出來就更亮了.

Ⅷ 傅里葉變換有什麼用

傅里葉變換是數字信號處理領域一種很重要的演算法。要知道傅里葉變換演算法的意義，首先要了解傅里葉原理的意義。

傅里葉原理表明：任何連續測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據該原理創立的傅里葉變換演算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。

和傅里葉變換演算法對應的是反傅里葉變換演算法。該反變換從本質上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉換成一個信號。

因此，可以說，傅里葉變換將原來難以處理的時域信號轉換成了易於分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。最後還可以利用傅里葉反變換將這些頻域信號轉換成時域信號。

從現代數學的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數表示成正弦基函數的線性組合或者積分。在不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅里葉變換和離散傅里葉變換。

在數學領域，盡管最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特徵。"任意"的函數通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數的線性組合的形式，而正弦函數在物理上是被充分研究而相對簡單的函數類：

1、傅里葉變換是線性運算元,若賦予適當的范數,它還是酉運算元；

2、傅里葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似；

3、正弦基函數是微分運算的本徵函數,從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常系數的代數方程的求解.在線性時不變雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段；

4、離散形式的傅里葉的物理系統內,頻率是個不變的性質,從而系統對於復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取；

5、著名的卷積定理指出:傅里葉變換可以化復變換可以利用數字計算機快速的算出(其演算法稱為快速傅里葉變換演算法(FFT))。

正是由於上述的良好性質,傅里葉變換在物理學、數論、組合數學、信號處理、概率、統計、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。

(8)如何理解圖片的傅立葉擴展閱讀

傅里葉生於法國中部歐塞爾（Auxerre）一個裁縫家庭，9歲時淪為孤兒，被當地一主教收養。1780年起就讀於地方軍校，1795年任巴黎綜合工科大學助教，1798年隨拿破崙軍隊遠征埃及，受到拿破崙器重，回國後於1801年被任命為伊澤爾省格倫諾布爾地方長官。

傅里葉早在1807年就寫成關於熱傳導的基本論文《熱的傳播》，向巴黎科學院呈交，但經拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德審閱後被科學院拒絕，1811年又提交了經修改的論文，該文獲科學院大獎，卻未正式發表。

傅里葉在論文中推導出著名的熱傳導方程 ，並在求解該方程時發現解函數可以由三角函數構成的級數形式表示，從而提出任一函數都可以展成三角函數的無窮級數。傅里葉級數（即三角級數）、傅里葉分析等理論均由此創始。

傅里葉由於對傳熱理論的貢獻於1817年當選為巴黎科學院院士。

1822年，傅里葉終於出版了專著《熱的解析理論》（Theorieanalytique de la Chaleur ，Didot ，Paris，1822）。這部經典著作將歐拉、伯努利等人在一些特殊情形下應用的三角級數方法發展成內容豐富的一般理論，三角級數後來就以傅里葉的名字命名。

傅里葉應用三角級數求解熱傳導方程，為了處理無窮區域的熱傳導問題又導出了當前所稱的「傅里葉積分」，這一切都極大地推動了偏微分方程邊值問題的研究。

然而傅里葉的工作意義遠不止此，它迫使人們對函數概念作修正、推廣，特別是引起了對不連續函數的探討；三角級數收斂性問題更刺激了集合論的誕生。因此，《熱的解析理論》影響了整個19世紀分析嚴格化的進程。傅里葉1822年成為科學院終身秘書。

由於傅里葉極度痴迷熱學，他認為熱能包治百病，於是在一個夏天，他關上了家中的門窗，穿上厚厚的衣服，坐在火爐邊，結果因CO中毒不幸身亡，1830年5月16日卒於法國巴黎。

參考資料來源：網路-傅立葉變換

參考資料來源：網路-傅立葉